一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 d 上有界，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) m 和 m，使得對于 d 中的所有 x，都有 m ≤ f(x) ≤ m。

函數(shù)有界的定義

定義：

一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界，當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)實(shí)數(shù) M 和 m，使得對于 D 中的所有 x，都有：

m ≤ f(x) ≤ M

其中：

• M 是函數(shù) f(x) 的上界，即所有函數(shù)值的上限。
• m 是函數(shù) f(x) 的下界，即所有函數(shù)值的下限。

等價(jià)條件：

函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界的等價(jià)條件如下：

• 存在實(shí)數(shù) M，使得 |f(x)| ≤ M，對于 D 中的所有 x。
• 存在正實(shí)數(shù) M，使得 -M ≤ f(x) ≤ M，對于 D 中的所有 x。

推論：

有界函數(shù)滿足以下性質(zhì)：

• 如果 f(x) 和 g(x) 都有界，那么 f(x) + g(x) 也一定有界。
• 如果 f(x) 有界，且 c 是常數(shù)，那么 cf(x) 也一定有界。
• 一個(gè)有界的函數(shù)一定是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。