一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 d 上有界,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) m 和 m,使得對于 d 中的所有 x,都有 m ≤ f(x) ≤ m。
函數(shù)有界的定義
定義:
一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界,當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)實(shí)數(shù) M 和 m,使得對于 D 中的所有 x,都有:
m ≤ f(x) ≤ M
其中:
- M 是函數(shù) f(x) 的上界,即所有函數(shù)值的上限。
- m 是函數(shù) f(x) 的下界,即所有函數(shù)值的下限。
等價(jià)條件:
函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界的等價(jià)條件如下:
- 存在實(shí)數(shù) M,使得 |f(x)| ≤ M,對于 D 中的所有 x。
- 存在正實(shí)數(shù) M,使得 -M ≤ f(x) ≤ M,對于 D 中的所有 x。
推論:
有界函數(shù)滿足以下性質(zhì):
- 如果 f(x) 和 g(x) 都有界,那么 f(x) + g(x) 也一定有界。
- 如果 f(x) 有界,且 c 是常數(shù),那么 cf(x) 也一定有界。
- 一個(gè)有界的函數(shù)一定是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。