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函數(shù)有界的定義


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小浪云 2024-12-08 139

一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 d 上有界,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) m 和 m,使得對于 d 中的所有 x,都有 m ≤ f(x) ≤ m。

函數(shù)有界的定義

函數(shù)有界的定義

定義:

一個(gè)函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界,當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)實(shí)數(shù) M 和 m,使得對于 D 中的所有 x,都有:

m ≤ f(x) ≤ M

其中:

  • M 是函數(shù) f(x) 的上界,即所有函數(shù)值的上限。
  • m 是函數(shù) f(x) 的下界,即所有函數(shù)值的下限。

等價(jià)條件:

函數(shù) f(x) 在定義域 D 上有界的等價(jià)條件如下:

  • 存在實(shí)數(shù) M,使得 |f(x)| ≤ M,對于 D 中的所有 x。
  • 存在正實(shí)數(shù) M,使得 -M ≤ f(x) ≤ M,對于 D 中的所有 x。

推論:

有界函數(shù)滿足以下性質(zhì):

  • 如果 f(x) 和 g(x) 都有界,那么 f(x) + g(x) 也一定有界。
  • 如果 f(x) 有界,且 c 是常數(shù),那么 cf(x) 也一定有界。
  • 一個(gè)有界的函數(shù)一定是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

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