函數單調性的求法涉及以下步驟:求導數并確定導數的正負性,正則單調遞增,負則單調遞減。根據導數的正負性劃分單調區間。在導數為零的點求二階導數,大于零則為極小值點,小于零則為極大值點。利用單調性和極值點繪制函數圖像。
函數單調性的求法和步驟
函數單調性的求法主要涉及以下步驟:
1. 求導數
求出函數的一階導數,記為 f'(x)。
2. 確定導數的正負性
- 如果 f'(x) > 0,則函數在 x 處單調遞增。
- 如果 f'(x)
- 如果 f'(x) = 0,則函數在 x 處可能有極值,需要進一步分析。
3. 確定單調區間
根據導數的正負性,將 x 軸劃分為若干個區間。對于每個區間,函數的單調性保持一致。
4. 確定極值點
在 f'(x) = 0 的點處,求出函數的二階導數 f”(x)。
- 如果 f”(x) > 0,則該點是極小值點。
- 如果 f”(x)
5. 繪制函數圖像
利用函數的單調性和極值點,可以繪制出函數圖像,清楚地顯示函數的變化趨勢。
例題:求函數 f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 的單調性。
解:
- 求導數:f'(x) = 3x^2 – 6x
-
確定導數的正負性:
- 當 x
- 當 x > 0 時,f'(x) > 0,函數單調遞增。
- 確定單調區間:(-∞, 0) 單調遞減,(0, ∞) 單調遞增。
- 確定極值點:在 x = 0 處,f'(x) = 0,f”(x) = 6 > 0,因此 x = 0 處有極小值。