函數(shù)單調(diào)性的求法涉及以下步驟:求導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)數(shù)的正負性,正則單調(diào)遞增,負則單調(diào)遞減。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負性劃分單調(diào)區(qū)間。在導(dǎo)數(shù)為零的點求二階導(dǎo)數(shù),大于零則為極小值點,小于零則為極大值點。利用單調(diào)性和極值點繪制函數(shù)圖像。
函數(shù)單調(diào)性的求法和步驟
函數(shù)單調(diào)性的求法主要涉及以下步驟:
1. 求導(dǎo)數(shù)
求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),記為 f'(x)。
2. 確定導(dǎo)數(shù)的正負性
- 如果 f'(x) > 0,則函數(shù)在 x 處單調(diào)遞增。
- 如果 f'(x)
- 如果 f'(x) = 0,則函數(shù)在 x 處可能有極值,需要進一步分析。
3. 確定單調(diào)區(qū)間
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負性,將 x 軸劃分為若干個區(qū)間。對于每個區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性保持一致。
4. 確定極值點
在 f'(x) = 0 的點處,求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) f”(x)。
- 如果 f”(x) > 0,則該點是極小值點。
- 如果 f”(x)
5. 繪制函數(shù)圖像
利用函數(shù)的單調(diào)性和極值點,可以繪制出函數(shù)圖像,清楚地顯示函數(shù)的變化趨勢。
例題:求函數(shù) f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 的單調(diào)性。
解:
- 求導(dǎo)數(shù):f'(x) = 3x^2 – 6x
-
確定導(dǎo)數(shù)的正負性:
- 當(dāng) x
- 當(dāng) x > 0 時,f'(x) > 0,函數(shù)單調(diào)遞增。
- 確定單調(diào)區(qū)間:(-∞, 0) 單調(diào)遞減,(0, ∞) 單調(diào)遞增。
- 確定極值點:在 x = 0 處,f'(x) = 0,f”(x) = 6 > 0,因此 x = 0 處有極小值。