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函數(shù)單調(diào)性的求法和步驟


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小浪云 2024-12-08 116

函數(shù)單調(diào)性的求法涉及以下步驟:求導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)數(shù)的正負性,正則單調(diào)遞增,負則單調(diào)遞減。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負性劃分單調(diào)區(qū)間。在導(dǎo)數(shù)為零的點求二階導(dǎo)數(shù),大于零則為極小值點,小于零則為極大值點。利用單調(diào)性和極值點繪制函數(shù)圖像。

函數(shù)單調(diào)性的求法和步驟

函數(shù)單調(diào)性的求法和步驟

函數(shù)單調(diào)性的求法主要涉及以下步驟:

1. 求導(dǎo)數(shù)

求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),記為 f'(x)。

2. 確定導(dǎo)數(shù)的正負性

  • 如果 f'(x) > 0,則函數(shù)在 x 處單調(diào)遞增。
  • 如果 f'(x)
  • 如果 f'(x) = 0,則函數(shù)在 x 處可能有極值,需要進一步分析。

3. 確定單調(diào)區(qū)間

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負性,將 x 軸劃分為若干個區(qū)間。對于每個區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性保持一致。

4. 確定極值點

在 f'(x) = 0 的點處,求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) f”(x)。

  • 如果 f”(x) > 0,則該點是極小值點。
  • 如果 f”(x)

5. 繪制函數(shù)圖像

利用函數(shù)的單調(diào)性和極值點,可以繪制出函數(shù)圖像,清楚地顯示函數(shù)的變化趨勢。

例題:求函數(shù) f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 的單調(diào)性。

解:

  1. 求導(dǎo)數(shù):f'(x) = 3x^2 – 6x
  2. 確定導(dǎo)數(shù)的正負性:

    • 當(dāng) x
    • 當(dāng) x > 0 時,f'(x) > 0,函數(shù)單調(diào)遞增。
  3. 確定單調(diào)區(qū)間:(-∞, 0) 單調(diào)遞減,(0, ∞) 單調(diào)遞增。
  4. 確定極值點:在 x = 0 處,f'(x) = 0,f”(x) = 6 > 0,因此 x = 0 處有極小值。

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