函數(shù)的定義域是指自變量的所有可能值構(gòu)成的集合。求解步驟包括檢查分母、根號(hào)、對(duì)數(shù)和三角函數(shù)的限制條件,并取所有限制條件所限定的自變量取值范圍的交集作為定義域。
函數(shù)的定義域
定義域的定義
函數(shù)的定義域是指自變量的所有可能值構(gòu)成的集合,即函數(shù)有意義的輸入值范圍。
求解定義域的步驟
- 檢查分母:若函數(shù)中存在分式,分母不能為零。將分母設(shè)為零,求解得到分母為零的自變量取值,這些值構(gòu)成定義域的邊界。
- 檢查根號(hào):若函數(shù)中存在根號(hào),根號(hào)內(nèi)不能為負(fù)數(shù)。將根號(hào)內(nèi)設(shè)為零或負(fù)數(shù),求解得到根號(hào)內(nèi)為負(fù)數(shù)的自變量取值,這些值構(gòu)成定義域的邊界。
- 檢查對(duì)數(shù):若函數(shù)中存在對(duì)數(shù),對(duì)數(shù)內(nèi)的值必須大于零。將對(duì)數(shù)內(nèi)的值設(shè)為零或負(fù)數(shù),求解得到對(duì)數(shù)內(nèi)為零或負(fù)數(shù)的自變量取值,這些值構(gòu)成定義域的邊界。
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檢查三角函數(shù):對(duì)于三角函數(shù),不同的函數(shù)有不同的定義域。例如:
- 正弦和余弦函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。
- 反正弦和反余弦函數(shù)的定義域?yàn)閇-1, 1]。
- 正切和余切函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),但除開(kāi)奇點(diǎn)(例如,正切函數(shù)的奇點(diǎn)為π/2 + nπ)。
- 綜合考慮:若函數(shù)中有多個(gè)限制條件,取所有限制條件所限定的自變量取值范圍的交集作為定義域。
示例
求函數(shù) f(x) = √(x-1) / (x+2) 的定義域。
- 分母 x+2 不能為零,因此 x ≠ -2。
- 根號(hào)內(nèi) x-1 不能為負(fù)數(shù),因此 x ≥ 1。
綜上,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?strong>{x | x ≥ 1, x ≠ -2}