反函數是函數的特殊類型,它反轉了原函數的輸入和輸出,且與原函數的圖像關于 y = x 線對稱。其性質包括:f(x) 必須單調可逆;反函數 f^-1(x) 也單調可逆;原反函數圖像關于 y = x 線對稱;復合運算 f(f^-1(x)) = x,f^-1(f(x)) = x。求反函數的方法為:交換 x 和 y;求解 y 關于 x;將 y 替換為 x。
反函數和原函數的關系
反函數是函數的一種特殊類型,它反轉了原函數的輸入和輸出。換句話說,反函數對于原函數的圖像與關于 y = x 線對稱。
定義
如果 f(x) 是一個單調可逆的函數,那么其反函數 f^-1(x) 定義為 f^-1(y) = x,其中 x 和 y 滿足關系 f(x) = y。
性質
- 反函數存在的條件:f(x) 必須是單調可逆的。
- 一對應性:反函數 f^-1(x) 也是單調可逆的。
- 對稱性:原函數 f(x) 的圖像與反函數 f^-1(x) 的圖像關于 y = x 線對稱。
- 復合運算:如果 f(x) 和 f^-1(x) 是原函數和反函數,則 f(f^-1(x)) = x,f^-1(f(x)) = x。
如何求反函數
- 交換 x 和 y:將原函數中的 x 和 y 互換,得到 y = f(x)。
- 求解 y 關于 x:將 y 解釋為 f^-1(x),并求解 x 關于 y 的表達式。
- 替換 y 為 x:將步驟 2 中得到的 x 表達式中的 y 替換為 x。
舉例
- f(x) = 2x + 1:反函數 f^-1(x) = (x – 1)/2
- f(x) = sin(x):反函數 f^-1(x) = arcsin(x)
- f(x) = e^x:反函數 f^-1(x) = ln(x)