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如何判斷函數(shù)的奇偶性


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小浪云 2024-12-08 134

函數(shù)的奇偶性可通過觀察自變量取正負(fù)值時(shí)函數(shù)值的變化判斷:代入 -x:將 -x 代入函數(shù) f(x) 中,得到 f(-x)。比較:將 f(-x) 與 f(x) 進(jìn)行比較。判斷:若 f(-x) = f(x),則 f(x) 為偶函數(shù);若 f(-x) = -f(x),則 f(x) 為奇函數(shù);若不相等,則 f(x) 不是奇偶函數(shù)。

如何判斷函數(shù)的奇偶性

如何判斷函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性可以通過觀察它的函數(shù)值在自變量取正負(fù)值時(shí)的變化來判斷。

定義

函數(shù) f(x) 具有以下性質(zhì):

  • 偶函數(shù): 當(dāng) x 取 -x 時(shí),f(-x) = f(x)
  • 奇函數(shù): 當(dāng) x 取 -x 時(shí),f(-x) = -f(x)

判斷步驟

  1. 代入 -x:將 -x 代入函數(shù) f(x) 中,得到 f(-x)。
  2. 比較:將 f(-x) 與 f(x) 進(jìn)行比較。
  3. 判斷:

    • 若 f(-x) = f(x),則 f(x) 是偶函數(shù)。
    • 若 f(-x) = -f(x),則 f(x) 是奇函數(shù)。
    • 若 f(-x) 與 f(x) 不相等,則 f(x) 不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

常見奇偶函數(shù)

  • x^n(n 為偶數(shù)):偶函數(shù)
  • x^n(n 為奇數(shù)):奇函數(shù)
  • sin(x):奇函數(shù)
  • cos(x):偶函數(shù)
  • tan(x):奇函數(shù)
  • cot(x):奇函數(shù)

應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性在積分和微分中具有廣泛的應(yīng)用。例如,如果 f(x) 是偶函數(shù),則其定積分在對稱區(qū)間上為偶函數(shù);如果 f(x) 是奇函數(shù),則其定積分在對稱區(qū)間上為奇函數(shù)。

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