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函數(shù)最大值最小值怎么求


函數(shù)最大值最小值求解方法: 一階導(dǎo)數(shù)法:求一階導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)等于零求臨界點(diǎn),判斷導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定極值。二階導(dǎo)數(shù)法:求二階導(dǎo)數(shù),代入臨界點(diǎn)判斷極值的正負(fù)確定極值。

函數(shù)最大值最小值怎么求

函數(shù)最大值最小值求解方法

開(kāi)門(mén)見(jiàn)山回答:

求函數(shù)最大值最小值的方法主要有以下兩種:

  • 一階導(dǎo)數(shù)法
  • 二階導(dǎo)數(shù)法

一階導(dǎo)數(shù)法

  1. 求導(dǎo)數(shù):求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。
  2. 令導(dǎo)數(shù)等于零:將導(dǎo)數(shù)表達(dá)式等于零,求解得到臨界點(diǎn)。
  3. 判斷極值:在臨界點(diǎn)處分別計(jì)算導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),若為正則為局部最小值,若為負(fù)則為局部最大值。

二階導(dǎo)數(shù)法

  1. 求導(dǎo)數(shù):求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。
  2. 令一階導(dǎo)數(shù)等于零:如一階導(dǎo)數(shù)法,求出臨界點(diǎn)。
  3. 代入二階導(dǎo)數(shù):將臨界點(diǎn)代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。
  4. 判斷極值:

    • 若二階導(dǎo)數(shù)大于零,則為局部最小值。
    • 若二階導(dǎo)數(shù)小于零,則為局部最大值。
    • 若二階導(dǎo)數(shù)等于零,則無(wú)法判斷極值。

舉例:

求函數(shù) f(x) = x3 – 6x2 + 9x 的最大值和最小值。

使用一階導(dǎo)數(shù)法:

  1. 求導(dǎo)數(shù):f'(x) = 3x2 – 12x + 9
  2. 令導(dǎo)數(shù)等于零:3x2 – 12x + 9 = 0,解得 x = 1, 3
  3. 判斷極值:

    • x = 1 時(shí),f'(x) > 0,為局部最小值。
    • x = 3 時(shí),f'(x)

使用二階導(dǎo)數(shù)法:

  1. 求導(dǎo)數(shù):f'(x) = 3x2 – 12x + 9, f”(x) = 6x – 12
  2. 令一階導(dǎo)數(shù)等于零:解得 x = 1, 3
  3. 代入二階導(dǎo)數(shù):

    • x = 1 時(shí),f”(1) > 0,為局部最小值。
    • x = 3 時(shí),f”(3)

因此,函數(shù) f(x) = x3 – 6x2 + 9 的最小值為 f(1) = -3,最大值為 f(3) = 0。

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